Mármore Médio Móvel Ponderado Exponencialmente

A abordagem EWMA possui um recurso atraente: requer relativamente poucos dados armazenados. Para atualizar nossa estimativa em qualquer ponto, precisamos apenas de uma estimativa prévia da taxa de variância e do valor de observação mais recente. Um objetivo secundário da EWMA é rastrear mudanças na volatilidade. Para valores pequenos, observações recentes afetam a estimativa prontamente. Para valores mais próximos de um, a estimativa muda lentamente com base nas mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido por JP Morgan e disponibilizado) usa o EWMA para atualizar a volatilidade diária. IMPORTANTE: a fórmula EWMA não assume um nível de variância médio de longo prazo. Assim, o conceito de volatilidade significa reversão não é capturado pelo EWMA. Os modelos ARCHGARCH são mais adequados para este fim. Um objetivo secundário da EWMA é acompanhar as mudanças na volatilidade, portanto, para valores pequenos, a observação recente afeta a estimativa prontamente e, para os valores mais próximos de uma, a estimativa muda lentamente para as mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido pela JP Morgan) e divulgado em 1994, usa o modelo EWMA para atualizar a estimativa diária de volatilidade. A empresa descobriu que, em uma variedade de variáveis ​​de mercado, esse valor dá uma previsão da variância que se aproxima da taxa de variância realizada. As taxas de variação realizadas em um determinado dia foram calculadas como uma média igualmente ponderada nos 25 dias subseqüentes. Da mesma forma, para calcular o valor ótimo de lambda para o nosso conjunto de dados, precisamos calcular a volatilidade realizada em cada ponto. Existem vários métodos, então escolha um. Em seguida, calcule a soma de erros quadrados (SSE) entre a estimativa EWMA e a volatilidade realizada. Finalmente, minimize o SSE variando o valor lambda. Soa simples é. O maior desafio é concordar com um algoritmo para calcular a volatilidade realizada. Por exemplo, as pessoas da RiskMetrics escolheram os 25 dias subseqüentes para calcular a taxa de variação realizada. No seu caso, você pode escolher um algoritmo que utilize preços diários, HILO e OPEN-CLOSE. Q 1: podemos usar o EWMA para estimar (ou prever) a volatilidade mais de um passo à frente A representação da volatilidade do EWMA não assume uma volatilidade média de longo prazo e, portanto, para qualquer horizonte de previsão além de um passo, o EWMA retorna uma constante Valor: GARCH e EWMA 21 de maio de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Compare, contraste e calcula abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo: ABORDAGEM GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (condicional Paramétrico) Métodos modernos colocam mais peso em informações recentes. Ambos, EWMA e GARCH colocam mais peso em informações recentes. Além disso, como o EWMA é um caso especial do GARCH, tanto EWMA como GARCH empregam o alisamento exponencial. GARCH (p, q) e, em particular, GARCH (1, 1) O GARCH (p, q) é um modelo heterossegativo condicional autoregressivo geral. Os principais aspectos incluem: Autoregressivo (AR). A variância (ou a volatilidade) de amanhã8217s é uma função regredida da variância8282 da atual8217s regressa a si mesma Condicional (C). A variância da dependência8282d de 20008217s está condicionada em8212 a variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância de hoje8217 Heteroskedastic (H). As variâncias não são constantes, elas são ao longo do tempo GARCH regride em 8220lagged8221 ou termos históricos. Os termos atrasados ​​são variância ou retornos quadrados. O modelo genérico GARCH (p, q) regride em (p) retornos quadrados e (q) variações. Portanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 ou regride no último período 8217s ao quadrado retornado (ou seja, apenas 1 retorno) e variância do último período8217s (ou seja, apenas uma variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula GARCH (1, 1) pode ser dada com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional como uma função de três variáveis ​​(variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): a persistência é uma característica incorporada no modelo GARCH. Dica: nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alpha-1 beta). Persistência refere-se a quão rápido (ou lentamente) a variância reverte ou 8220decays8221 em direção à sua média de longo prazo. A alta persistência equivale a uma decadência lenta e a uma redução lenta de 8220 para a baixa persistência média8221 equivale a uma rápida deterioração e uma rápida reversão da média para a média.8221 Uma persistência de 1.0 implica não reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221, onde uma menor persistência implica uma maior reversão da média. Dica: como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (maior do que zero, mas inferior a uma) implica reversão lenta na média. Mas se os pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado forem superiores a um, o modelo não é estacionário. Se (bc) for maior que 1 (se bc gt 1) o modelo não é estacionário e, de acordo com Hull, instável. Nesse caso, o EWMA é preferido. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é 8220compact8221 (ou seja, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucos melhoraram no original. A desvantagem do modelo GARCH é o seu sic de não-linearidade Por exemplo: Resolva a variância de longo prazo no GARCH (1,1) Considere a equação GARCH (1, 1) abaixo: suponha que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E note que omega é 0,2, mas erro don8217t omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto da gama e da variância de longo prazo. Então, se alpha beta 0.9, então a gama deve ser 0.1. Dado que omega é 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): A diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que o GARCH inclui o termo adicional para reversão média e o EWMA não possui uma reversão média. Aqui é como obtemos de GARCH (1,1) para EWMA: então, deixamos um 0 e (bc) 1, de modo que a equação acima se simplifique: Isso agora é equivalente à fórmula para média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo a um (lambda alta) exibe decadência lenta. A abordagem RiskMetricsTM RiskMetrics é uma forma de marca da abordagem da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): a lambda ótima (teórica) varia de acordo com a classe de ativos, mas o parâmetro ideal geral usado pela RiskMetrics foi de 0,94. Na prática, o RiskMetrics usa apenas um fator de decaimento para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diários e mensais são inconsistentes. No entanto, ambos são fáceis de usar, eles aproximam bastante bem o comportamento dos dados reais e são robustos à falta de especificação. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são cada um paramétrico e recursivo. EWMA Recursiva Vantagens e Desvantagens do MA (ou seja, STDEV) vs GARCH Resumo gráfico dos métodos paramétricos que atribuem mais peso aos retornos recentes (GARCH amp EWMA) Resumo Dicas: GARCH (1, 1) é RiskMetrics generalizado e, inversamente, RiskMetrics é Caso restrito de GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) 1. GARCH (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, devem somar para um: Dica: tenha cuidado com o primeiro termo no Equação GARCH (1, 1): omega () gamma () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado a variação, você precisará dividir o peso para calcular a variância média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa de volatilidade. Na prática, as taxas de variância tendem a ser reversas médias, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que 8221) ao modelo EWMA. Lembre-se, que a diferença é grande: o GARCH adiciona o parâmetro que pesa a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferido a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que está implícito se alpha beta gt 1). Nesse caso, o GARCH (1,1) é instável e o EWMA é preferido. Explique como as estimativas do GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base em uma janela de observação posterior, p. ex. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): característica de fantasma: os choques de volatilidade (aumento súbito) são incorporados abruptamente na métrica MA e então, quando a janela de fuga passa, eles são retirados abruptamente do cálculo. Devido a isso, a métrica MA mudará em relação ao comprimento da janela escolhida. A informação da tendência não está incorporada. As estimativas do GARCH melhoram essas fraquezas de duas maneiras: as observações mais recentes recebem pesos maiores. Isso supera o fantasma porque um choque de volatilidade impactará imediatamente a estimativa, mas sua influência desaparecerá gradualmente com o passar do tempo. Um termo é adicionado para incorporar reversão à média. Explicar como a persistência está relacionada à reversão da média. Dada a equação GARCH (1, 1): Persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. Uma persistência de 1.0 indica que não há reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica decadência rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos tanto à variância retardada quanto ao retorno quadrado retardado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Se a persistência de P e o peso de G atribuídos à variância de longo prazo, então PG 1. Portanto, se P (persistência) for alto, então G (reversão média) é baixa: a série persistente não é fortemente significativa ao reverter, exibe uma decadência de 8220s no final de 8221 em direção ao significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impassível significa fortemente reverter exibe 8220rapid decay8221 em direção à média. A variância média e incondicional no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explicar como EWMA sistematicamente descontos dados mais antigos e identificar os fatores de deterioração diária e mensal RiskMetrics174. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série EWMA 8220true8221 que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído aos retornos quadrados é uma relação constante do peso anterior. Especificamente, lambda (l) é a razão entre os pesos vizinhos. Desta forma, dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda for alta (por exemplo, 0,99), o desconto é muito gradual. Se lambda for baixa (por exemplo, 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de decaimento do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que as volatilidades de previsão. Ao medir o risco do portfólio, as correlações podem ser mais importantes do que a volatilidade individual do instrumento. Portanto, em relação ao risco de portfólio, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões de volatilidade individual. Use o GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variação futura esperada, em (t) períodos avançados, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno ao quadrado anterior (o retorno anterior era 4), o peso beta (0,7) foi atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância a longo prazo. Não é 0.00008 este termo é o produto da variância e seu peso. Uma vez que o peso deve ser de 0,2 (1 - 0.1 -0.7), a variância de longo prazo 0.0004. Segundo, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado a nós acima: agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variação futura esperada: Esta é a taxa de variância esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 e a volatilidade de longo prazo é 2. A projeção para frente de 10 dias 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Previsão de volatilidade não-paramétrica7.3.7 Média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) 7.3.7 Média móvel ponderada exponencialmente Para conciliar os pressupostos de estimativa da média móvel uniformemente ponderada (UWMA) com as realidades da heterocedasticidade do mercado, podemos aplicar o estimador 7.10 apenas ao histórico mais recente Dados tq. O que deve refletir mais sobre as atuais condições do mercado. Isso é autodestrutivo, pois aplicar o estimador 7.10 a uma pequena quantidade de dados aumentará seu erro padrão. Consequentemente, UWMA implica um dilema: aplicá-lo a muitos dados é ruim, mas também é aplicá-lo a um pouco de dados. Isto motivou Zangari (1994) a propor uma modificação da UWMA chamada estimativa da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA). Isto aplica uma ponderação não uniforme para dados da série temporal, de modo que uma grande quantidade de dados pode ser usada, mas os dados recentes são mais ponderados . Como o nome sugere, os pesos são baseados na função exponencial. A estimativa média móvel ponderada exponencialmente substitui o estimador 7.10 com onde o fator de decaimento geralmente é atribuído um valor entre 0,95 e 0,99. Os fatores de baixa deterioração tendem a pesar mais os dados recentes. Note-se que a estimativa da média móvel ponderada exponencialmente é amplamente utilizada, mas é uma modesta melhoria em relação à UWMA. Não tenta modelar a heterocedasticidade condicional de mercado mais do que UWMA faz. Seu esquema de ponderação substitui o dilema de quantos dados usar com um dilema semelhante quanto ao quanto um fator de decaimento agressivo é usado. Considere novamente a Exibição 7.6 e nosso exemplo da posição de USD 10MM é SGD. Permite estimativa 10 1 usando estimador médio móvel ponderado exponencialmente 7,20. Se usarmos .99, obtemos uma estimativa para 10 1 de .0054. Se usarmos .95, obtemos uma estimativa de .0067. Estes correspondem a resultados de valor de risco em posição de US $ 89.000 e US $ 110.000, respectivamente. A exibição 7.7 indica 30 dias de dados para CHF Libor de 1 mês. Exibição 7.7: Dados para CHF Libor de 1 mês. As taxas são expressas em porcentagens. Fonte: British Bankers Association (BBA).